生活态度

1. 运动：运动能解决大部分心理的问题
2. 心态：其实这样没啥，与其畏畏缩缩被人批评，不如放手创造被人批评

LLM

数学

微积分

极限

极限描述的是：一个量越来越接近某个值时，另一个量会越来越接近什么值。

$\lim_{x\to a}f(x)=L$

导数

一个量在某一点变换有多快：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

积分

积分：把无数个非常微小的量累加起来，得到一个总量。

定积分：计算累计总量 $\int_a^b f(x)dx$

不定积分：寻找原函数 $\int f(x)dx$

寻找原函数 $F(x)$ 使得 $F'(x) = f(x)$

多重积分

多重积分把普通积分从一维区间推广到二维、三维或更高维区间。

• 一重积分：沿线累加
• 二重积分：在面上累加
• 三重积分：在空间中累加

线性代数

线性变换

线性代数，用来研究线性关系。

一开始是为了解决一组一次方程：

$\begin{cases} 2x+y=5 \\\\ x-y=1 \end{cases}$

1. 线性：关系中变量只出现一次方，是直线。
2. 代数：通过符号，方程和运算规则研究数量与结构。

线性变换：

1. $T(u+v) = T(u) + T(v)$
2. $T(cu)=cT(u)$

先合并再变换，和先分别变换再合并，结果一样；输入放大几倍，输出也放大几倍。

为什么这个叫线性变换，因为这个变换会把一条直线变为另外一条直线。

任意直线可以写为:

$x=u+tv$

$T(u+tv) = T(u) + tT(v)$

变换后右边仍然是一条直线的参数方程，可以这样理解：

1. 一条直线可以写为参数形式 $x(t)=p+tv$
2. p 是直线上的一个固定点，可以是多维
3. v 是固定方向，可以是多维
4. t 是任意实数
5. 改变 t，就是从 p 出发，沿固定方向 v 前后移动

矩阵

矩阵是为了让一张表来记录一个线性变换。

1. $T(x,y) = (2x + y, 3y)$
2. 输入 x,y 输出两个新坐标 $\begin{cases} X = 2x+y \\\\ Y = 0x + 3y \end{cases}$
3. 系数整理出来: $\begin{bmatrix}2&1\\\\0&3\end{bmatrix}$
4. 变换可以简写成: $\begin{bmatrix}X\\\\Y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&1\\\\0&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\\\y \end{bmatrix}$

矩阵为什么满足线性变换：

1. 保持加法：$A(u+v) = Au + Av$
2. 保持乘法：$A(cu)=c(Au)$

矩阵的形状： $A\in\mathbb R^{m\times n}$

表示一个从 n 维空间到 m 维空间的线性变换：$A:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m$

矩阵的列： $A= \begin{bmatrix} |&|&&|\\\\ a_1&a_2&\cdots&a_n\\\\ |&|&&| \end{bmatrix}$

$Ax=x_1a_1+x_2a_2+...+x_na_n$

1. 矩阵的每一列记录了一个基础方向被变到哪里
2. 输出 Ax 是这些列向量的线性组合
3. Ax 一定落在矩阵各列所张成的空间中

矩阵的秩(rank(A))：经过这个矩阵变换后，输出还保留多少个独立方向。

通过秩来判断：

1. 信息是否丢失
2. 方程是否有解
3. 解是否唯一
4. 矩阵是否可逆

行列式：

对于方阵，行列式 det(A) 描述空间体积的缩放比例：

• $|det(A)|>1$: 体积放大
• $0<|det(A)|<1$: 体积缩小
• $det(A)<0$: 方向发生翻转
• $det(A)=0$: 空间被压扁，丢失维度

特征值与特征向量：

举证通常会改变向量的方向，但是有些特殊的方向经过变换后方向不变，只会改变长度：$Av=\lambda v$

• $v$ 是特征向量，表示特殊方向
• $\lambda$ 是特征值，表示该方向被缩放多少

奇异值

奇异值描述的是：一个矩阵在不同方向上，分别会把向量的长度拉伸或压缩多少。